31808번 - 가우스법칙

전기 선속은 어떤 면을 통과하는 총 전기장을 나타낸다. 가우스 법칙은 카를 프리드리히 가우스가 발견한 전기장에 대한 법칙으로, 전기 선속을 측정하고 싶은 닫힌곡면을 설정하면 이 면을 통과하는 전기선속 $\Phi$는 다음과 같이 주어진다는 법칙이다. $$\Phi =\oint_A \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} =\frac{q}{\varepsilon _{0}}$$ 이때 이 곡면을 가우스 면이라 하고, $q$는 가우스 면 내부의 전하량의 총합, $E$는 전기장, $A$는 가우스 면 위의 넓이 요소를, $\varepsilon_0$은 진공의 유전율을 나타낸다. 어떤 닫힌 공간에 있어서 그 공간의 총 전기선속에 영향을 주는 것은 공간 내부의 전하뿐임을 의미한다.

이안이는 연구 주제로 물리 과목을 선택하였다. 이안이는 전기를 주제로 연구하고 있어서 여러가지 전하 분포에 대해서 가우스 법칙을 계산해야 할 일이 많다. 이안이는 연구를 위해 평면 위에 전하가 분포하는 장치를 만들었고, 같은 평면에 $N$개의 볼록다각형을 이루는 점을 골라 이 다각형을 밑면으로 하는 적당한 높이의 각기둥을 가우스 면으로 하였다. 이 상태에서 이안이는 평면 위의 전기장을 최대한 세게 하고 싶다. 하지만 장치가 너무 불안정해 가우스 면을 바꾸는 것이 쉽지 않다. 이안이는 장치에서 가우스 면을 구성하는 점들 중 최대 하나만을 제거할 수 있다. 이안이를 위해 가우스 면을 이루는 점들이 주어지고, 점전하의 위치와 전하량이 주어질 때 전기 선속의 크기가 가장 크도록 도와주자. 전기 선속의 크기란 $\left| \Phi \right|$를 말한다.

첫째 줄에 가우스 면을 이루는 점의 수 $N$, 점전하의 개수 $M$이 공백으로 구분되어 주어진다.

둘째 줄부터 $N$개의 줄에 걸쳐 각 점의 $x$좌표와 $y$좌표가 공백으로 구분되어 주어진다.

이후 $M$개의 줄에 걸쳐 각 점전하의 $x$좌표와 $y$좌표, 전하량 $q$가 공백으로 구분되어 주어진다.

주어진 계에서 전기 선속의 크기가 가장 클 때의 $\varepsilon_0 \Phi$의 절댓값을 출력한다.

• $3 \le N \le 10^5, 1 \le M \le 10^5$
• 가우스 면을 이루는 점들은 반시계 방향으로 주어지며, 볼록 다각형임이 보장된다.
• 가우스 면을 이루는 점과 점전하에 대해 $-10^9 \le x, y \le 10^9$
• 가우스 면을 이루는 모든 점의 좌표는 서로 다르다.
• 점전하의 모든 좌표는 서로 다르다.
• 모든 점전하에 대해 $-10^3 \le q \le 10^3$
• 공간 내부는 공간의 경계를 포함하지 않는다.
• 가우스 면을 이루는 어떤 세 점도 일직선상에 있지 않다.